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建个企业网站收费,优化seo可以从以下几个方面进行,网站开发 策划书,wordpress页码颜色人工智能之数学基础 线性代数 第一章 向量与矩阵 文章目录人工智能之数学基础 线性代数前言一、基本定义1. 向量#xff08;Vector#xff09;2. 矩阵#xff08;Matrix#xff09;二、基本运算1. 向量/矩阵加减法示例#xff08;矩阵#xff09;#xff1a;Python 实现…人工智能之数学基础 线性代数第一章 向量与矩阵文章目录人工智能之数学基础 线性代数前言一、基本定义1. 向量Vector2. 矩阵Matrix二、基本运算1. 向量/矩阵加减法示例矩阵Python 实现2. 标量乘法Python3. 矩阵乘法Matrix Multiplication示例Python4. 转置Transpose示例Python5. 逆矩阵Inverse MatrixPython使用 NumPy6. 单位矩阵与零矩阵单位矩阵Identity Matrix零矩阵Zero MatrixPython 创建三、向量的点积内积Python四、完整示例代码汇总五、小结后续资料关注前言线性代数是数学的一个重要分支广泛应用于机器学习、计算机图形学、物理学、工程等领域。本文将系统介绍向量与矩阵的基本概念、运算规则并提供 PythonNumPy实现代码。一、基本定义1. 向量Vector定义向量是一个有序的数字列表可以表示为行向量或列向量。行向量v [ v 1 , v 2 , … , v n ] \mathbf{v} [v_1, v_2, \dots, v_n]v[v1​,v2​,…,vn​]列向量v [ v 1 v 2 ⋮ v n ] \mathbf{v} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}v​v1​v2​⋮vn​​​维度向量中元素的个数称为其维度如n nn维向量。2. 矩阵Matrix定义矩阵是一个由数字排列成的矩形数组具有m mm行和n nn列记作A ∈ R m × n A \in \mathbb{R}^{m \times n}A∈Rm×n。A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] A \begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn} \end{bmatrix}A​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​​特殊矩阵零矩阵所有元素为 0 的矩阵记作O OO。单位矩阵主对角线元素为 1其余为 0 的方阵记作I n I_nIn​。I 3 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] I_3 \begin{bmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{bmatrix}I3​​100​010​001​​二、基本运算1. 向量/矩阵加减法条件两个矩阵或向量必须具有相同的维度。规则对应元素相加减。示例矩阵A [ 1 2 3 4 ] , B [ 5 6 7 8 ] ⇒ A B [ 6 8 10 12 ] A \begin{bmatrix} 1 2 \\ 3 4 \end{bmatrix},\quad B \begin{bmatrix} 5 6 \\ 7 8 \end{bmatrix} \Rightarrow A B \begin{bmatrix} 6 8 \\ 10 12 \end{bmatrix}A[13​24​],B[57​68​]⇒AB[610​812​]Python 实现importnumpyasnp Anp.array([[1,2],[3,4]])Bnp.array([[5,6],[7,8]])print(A B \n,AB)print(A - B \n,A-B)2. 标量乘法将矩阵/向量中的每个元素乘以一个标量实数。Pythonc2print(c * A \n,c*A)3. 矩阵乘法Matrix Multiplication条件若A ∈ R m × n A \in \mathbb{R}^{m \times n}A∈Rm×nB ∈ R n × p B \in \mathbb{R}^{n \times p}B∈Rn×p则A B ∈ R m × p AB \in \mathbb{R}^{m \times p}AB∈Rm×p。规则结果矩阵第i , j i,ji,j元素为A AA第i ii行与B BB第j jj列的点积。示例A [ 1 2 3 4 ] , B [ 5 6 7 8 ] ⇒ A B [ 19 22 43 50 ] A \begin{bmatrix} 1 2 \\ 3 4 \end{bmatrix},\quad B \begin{bmatrix} 5 6 \\ 7 8 \end{bmatrix} \Rightarrow AB \begin{bmatrix} 19 22 \\ 43 50 \end{bmatrix}A[13​24​],B[57​68​]⇒AB[1943​2250​]注意矩阵乘法不满足交换律一般A B ≠ B A AB \ne BAABBA。PythonCnp.dot(A,B)# 或 A Bprint(A B \n,C)4. 转置Transpose定义将矩阵的行与列互换记作A T A^TAT。若A ∈ R m × n A \in \mathbb{R}^{m \times n}A∈Rm×n则A T ∈ R n × m A^T \in \mathbb{R}^{n \times m}AT∈Rn×m。( A T ) i j A j i (A^T)_{ij} A_{ji}(AT)ij​Aji​示例A [ 1 2 3 4 5 6 ] ⇒ A T [ 1 3 5 2 4 6 ] A \begin{bmatrix} 1 2 \\ 3 4 \\ 5 6 \end{bmatrix} \Rightarrow A^T \begin{bmatrix} 1 3 5 \\ 2 4 6 \end{bmatrix}A​135​246​​⇒AT[12​34​56​]PythonAnp.array([[1,2],[3,4],[5,6]])print(A^T \n,A.T)5. 逆矩阵Inverse Matrix定义对于方阵A ∈ R n × n A \in \mathbb{R}^{n \times n}A∈Rn×n若存在矩阵A − 1 A^{-1}A−1使得A A − 1 A − 1 A I n A A^{-1} A^{-1} A I_nAA−1A−1AIn​则称A − 1 A^{-1}A−1为A AA的逆矩阵。存在条件A AA必须是可逆的非奇异即det ⁡ ( A ) ≠ 0 \det(A) \ne 0det(A)0。Python使用 NumPyAnp.array([[4,7],[2,6]])A_invnp.linalg.inv(A)print(A⁻¹ \n,A_inv)print(A A⁻¹ \n,np.dot(A,A_inv))# 应接近单位矩阵⚠️ 注意不是所有矩阵都有逆只有方阵且满秩才有逆。6. 单位矩阵与零矩阵单位矩阵Identity Matrix对任意矩阵A AA兼容维度有A I I A A AI IA AAIIAA。零矩阵Zero Matrix所有元素为 0加法单位元A O A A O AAOA。Python 创建I3np.eye(3)# 3x3 单位矩阵O2np.zeros((2,2))# 2x2 零矩阵print(I3 \n,I3)print(O2 \n,O2)三、向量的点积内积两个同维向量u , v ∈ R n \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^nu,v∈Rn的点积u ⋅ v u 1 v 1 u 2 v 2 ⋯ u n v n u T v \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} u_1 v_1 u_2 v_2 \cdots u_n v_n \mathbf{u}^T \mathbf{v}u⋅vu1​v1​u2​v2​⋯un​vn​uTvPythonunp.array([1,2,3])vnp.array([4,5,6])dot_productnp.dot(u,v)# 或 u vprint(u · v ,dot_product)# 输出: 32四、完整示例代码汇总importnumpyasnp# 1. 定义向量和矩阵vnp.array([1,2,3])# 列向量在 NumPy 中是一维数组Anp.array([[1,2],[3,4]])# 2x2 矩阵Bnp.array([[5,6],[7,8]])# 2. 加减法print(A B \n,AB)print(A - B \n,A-B)# 3. 标量乘法print(2 * A \n,2*A)# 4. 矩阵乘法print(A B \n,A B)# 5. 转置print(A^T \n,A.T)# 6. 逆矩阵仅方阵A_invnp.linalg.inv(A)print(A⁻¹ \n,A_inv)print(A A⁻¹ ≈ I:\n,np.round(A A_inv,decimals10))# 7. 单位矩阵 零矩阵Inp.eye(2)Onp.zeros((2,2))print(I \n,I)print(O \n,O)# 8. 向量点积unp.array([1,2])wnp.array([3,4])print(u · w ,u w)五、小结概念符号条件Python 函数加法A B A BAB同维A B标量乘法c A cAcA任意c * A矩阵乘法A B ABABA 列数 B 行数A B或np.dot(A,B)转置A T A^TAT任意A.T逆矩阵A − 1 A^{-1}A−1方阵且可逆np.linalg.inv(A)单位矩阵I n I_nIn​—np.eye(n)零矩阵O OO—np.zeros((m,n))向量点积u ⋅ v \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}u⋅v同维u v本文介绍了线性代数的向量与矩阵相关的基础来自于求解方程组方程组的内容不在此论述可以查阅提供的资料去了解这些作为基础可以了解不用过于细节人工智能比如python已经将一些算法在其内部封装一行代码可能就代表一层模型不过了解这些有利于更高层次的对人工智能的理解以及更加灵活的调整模型。后续python过渡项目部分代码已经上传至gitee后续会逐步更新。资料关注公众号咚咚王giteehttps://gitee.com/wy18585051844/ai_learning《Python编程从入门到实践》《利用Python进行数据分析》《算法导论中文第三版》《概率论与数理统计第四版 (盛骤) 》《程序员的数学》《线性代数应该这样学第3版》《微积分和数学分析引论》《西瓜书周志华-机器学习》《TensorFlow机器学习实战指南》《Sklearn与TensorFlow机器学习实用指南》《模式识别第四版》《深度学习 deep learning》伊恩·古德费洛著 花书《Python深度学习第二版(中文版)【纯文本】 (登封大数据 (Francois Choliet)) (Z-Library)》《深入浅出神经网络与深度学习(迈克尔·尼尔森MichaelNielsen》《自然语言处理综论 第2版》《Natural-Language-Processing-with-PyTorch》《计算机视觉-算法与应用(中文版)》《Learning OpenCV 4》《AIGC智能创作时代》杜雨张孜铭《AIGC原理与实践零基础学大语言模型、扩散模型和多模态模型》《从零构建大语言模型中文版》《实战AI大模型》《AI 3.0》